(2013/06/24 追記)
コメント欄にてUnity 4.0からMacのWebPlayerでもIMEが使用可能になったという事を教えて頂きました。ありがとうございます。
"Mac OS X Web Player: Made IME support work in all Mac browsers."
http://unity3d.com/unity/whats-new/unity-4.0
(追記ここまで)
自分がハマったので他の人の落とし穴回避用に書いときます。
今のところ、UnityのWebPlayerはMac版ではIMEが使えないみたいです。スタンドアローン(.appファイル)の場合は使えます。
公式のこちらのページに "Note: IME on Unity is not supported on mac webplayers at the moment. " と記載されています。
